Indhold
- Formel til beregning af området af en ottekant
- afledning
- Formel til beregning af oktahedronens volumen
- afledning
- Overfladeareal
I geometri er en ottekant en otte sidet polygon. En regelmæssig ottekant har otte lige sider og lige vinkler. Det er almindeligt kendt ved stop tegn. En oktaedron er en otte sidet polyhedron, og en regelmæssig oktaedron har otte trekanter med lige lange kanter, det vil sige to firkantede pyramider, der mødes på deres baser.
Formel til beregning af området af en ottekant
Formlen til beregning af området med en regelmæssig ottekant med sider af længden "a" er: 2 x (1 + rod (2)) x a², hvor "rod" angiver kvadratroten.
afledning
En ottekant kan ses som fire rektangler, en firkant i midten og fire isosceles trekanter i hjørnerne.
Torget har et område på "a²".
Trianglerne har siderne "a", a / root (2) og a / root (2) ved den pythagoriske sætning. Derfor har hver et område på en ^ 2/4.
Rektanglerne har et område med en x a / root (2).
Summen af disse ni områder er 2a² (1 + rod (2)).
Formel til beregning af oktahedronens volumen
Formlen for volumenet af en regelmæssig oktaedron af siderne "a" er a³ x root (2) / 3.
afledning
Området af en firesidet pyramide er: base x højde / 3. Arealet af en regelmæssig ottekant er derfor 2 x base x højde / 3.
Base = a².
Vælg to tilstødende hjørner, kald "F" og "C". "O" er centrum. FOC er en højre ensartet trekant med basis "a", så OC og OF har længde a / root (2) ved Pythagoras sætning. Således højde = a / root (2).
Derfor er volumenet af en regelmæssig oktaedron 2 x (a²) x a / root (2) / 3 = a³ x root (2) / 3.
Overfladeareal
Overfladen af den regelmæssige oktaedron er området af en lige sidetriangel på siden "a" gange dens otte ansigter.
For at bruge Pythagoras sætning, lav en linje fra toppunktet til basen. Dette skaber to trekanter, med hypotenus af længde "a" og længde på den ene side "a / 2." Derfor skal den tredje side være root [a² - a ^ 2/4] = root (3) a / 2. Således er arealet af en ligesidet trekant højde x base / 2 = rod (3) a / 2 x a / 2 = rod (3) a ^ 2/4.
Med otte sider er overfladearealet af en regelmæssig oktaedron 2 x root (3) a².
