Indhold

• retninger
• tips
• advarsel

Definitionen af ​​epsilon-delta er en demonstration, som eleverne lærer i det første år af calculus klasser. Denne definition er en klassisk måde at vise, at en funktion nærmer sig en bestemt tærskel som en uafhængig variabel nærmer sig en given værdi. Epsilon og delta er henholdsvis det fjerde og femte bogstav i det græske alfabet. Disse bogstaver bruges traditionelt i beregningen af ​​grænser og bruges også i demonstrationsprocesser.

retninger

Epsilon-delta definitionen bruges til at løse grænseværdier. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Man bør begynde med at arbejde med den formelle grænsedefinition. Denne definition siger, at "grænsen for f (x) er L, når x nærmer sig k, hvis for hvert epsilon større end nul er der et tilsvarende delta, der er større end nul, sådan at når værdien absolutte af forskellen mellem x og k er mindre end delta, vil den absolutte værdi af forskellen mellem f (x) og L være mindre end epsilon. "Uformelt betyder dette, at grænsen for f (x) er L, når x nærmer sig k, hvis det er muligt at gøre f (x) så tæt på L som ønsket ved at nærme x til k. For at udføre epsilon-delta demonstrationen, skal det vises, at det er muligt at definere delta i form af epsilon, for en given funktion og grænse.

   
   

2. Manipulere sætningen "| f (x) - L | er mindre end epsilonen" indtil du får | x - k | mindre end en værdi. Overvej denne "nogle værdi" for at være deltaet. Husk den formelle definition og den centrale idé, som siger, at det er nødvendigt at vise, at for ethvert epsilon er der et delta, der etablerer mellem dem et forhold, der gør definitionen ægte. Af denne grund er det nødvendigt at definere delta i form af epsilon.

3. Bemærk følgende flere eksempler for at tage højde for, hvordan definitionen fortsætter. For eksempel at bevise at grænsen på 3x-1 er 2, når x nærmer sig 1, betragter vi k = 1, L = 2 og f (x) = 3x-1. For at være sikker på, at | f (x) - L | er mindre end epsilon, gør | (3x - 1) - 2 | lavere end epsilon. Dette betyder at | 3x - 3 | er mindre end epsilonen, så 3 | x - 1 | er også, eller || x - 1 | er mindre end epsilon / 3. I betragtning af at delta = epsilon / 3, | f (x) - L | vil være mindre end epsilon når | x - k | er mindre end delta.

   
   

tips

• Den centrale del af beviset er at omdanne f (x) - L til x - k. Hvis du holder dette mål i tankerne, vil resten af ​​demonstrationen finde sted perfekt.

advarsel

• I nogle situationer kan grænsen for en funktion indikere, at f (x) har tendens til uendelighed, når x har tendens til uendelig. Definitionen af ​​epsilon-delta virker ikke i disse tilfælde; I disse situationer kan en lignende demonstration foretages ved at vælge to store tal, M og N, og viser at f (x) kan overstige M ved at forårsage x overstige N, og M kan være så stor som ønsket.